1. Σε κατσαρόλα ζεσταίνουμε το ελαιόλαδο και σοτάρουμε τα πράσα σε μέτρια φωτιά για 5΄-6΄, να γίνουν διάφανα. Κρατάμε 2 κ.σ. πράσα για να γαρνίρουμε τα πιάτα στο τέλος.
2. Προσθέτουμε τις κομμένες πατάτες, το ζωμό ή το νερό και το γάλα. Αφήνουμε τη σούπα να πάρει βράση, σκεπάζουμε την κατσαρόλα και αφήνουμε να σιγοβράσουν τα λαχανικά για 25΄-30΄.
3. Τα τελευταία 5΄ αρωματίζουμε με το θυμάρι. Αφήνουμε να κρυώσει η σούπα για 10΄. Αφαιρούμε το θυμάρι (αν είναι φρέσκο) και πολτοποιούμε τα λαχανικά στο μίξερ.
4. Ξαναβάζουμε τη σούπα στην  κατσαρόλα. Αλατοπιπερώνουμε και προσθέτουμε τον ψιλοκομμένο μαϊντανό. Εάν σε αυτό το σημείο η βελουτέ μάς φαίνεται πολύ παχιά μπορούμε να την αραιώσουμε με λίγο ζωμό ή με ζεστό γάλα.
5. Μοιράζουμε σε μπολ ή βαθιά πιάτα και προσθέτουμε από μία κουταλιά της σούπας γιαούρτι σε κάθε μερίδα. Γαρνίρουμε με λίγα από τα σοταρισμένα πράσα που κρατήσαμε στην άκρη και τρίβουμε έξτρα πιπέρι.